已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,过它的右焦点F2引倾斜角为45度的直线l,叫椭圆于M、N两点,M、N两点到椭圆右准线的距离之和为8/3,它的左焦点F1到直线l的距离为根号2,求椭圆方程

题目

已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,过它的右焦点F2引倾斜角为45度的直线l,叫椭圆于M、N两点,M、N两点到椭圆右准线的距离之和为8/3,它的左焦点F1到直线l的距离为根号2,求椭圆方程

答案

过F1作F1P⊥MN,交MN与P,
∵L的倾角为45°,在△F1PF2为等腰直角三角形,
|F1F2|=√2|F1P|=2,c=1
直线L的方程为y=x-1,椭圆的方程可设为
x^2/a^2+y^2/(a^2-1)=1,将直线L方程带入,消去y,得
(2a^2-1)x^2-2a^2x+a^4=0
x1+x2=2a^2/(2a^2-1)
M、N点到右准线的距离之和为2a^2/c-(x1+x2)=2a^2-2a^2/(2a^2-1)=8/3
a^2=2或a^2=1/3(舍弃),a=√2
椭圆方程为x^2/2+y^2=1