已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1、F2,P是准线上的一点,且PF1⊥PF2,

题目

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1、F2,P是准线上的一点,且PF1⊥PF2,
（接着题目）|PF1|*|PF2|=4ab,则双曲线的离心率为_______.
既然准线与X轴交于C点，那么PC肯定不垂直于F1F2 所以第三行有问题。

答案

设准线与x轴交于C点,
PF1⊥PF2,
直角三角形PF1F2的面积=1/2*|PF1|*|PF2|=1/2*|F1F2|*|PC|
而|PF1|*|PF2|=4ab
所以2ab=c*|PC|,|PC|=2ab/c
在直角三角形PF1F2中,|CF2|*|CF1|=|PC|²
即：(c-a^2/c)(c+a^2/c)= 4(ab)^2/c^2,
4(ab)^2/c^2=(c^4-a^4)/c^2,
4a^2*b^2=c^4-a^4,
∵b^2=c^2-a^2,
∴4a^2(c^2-a^2)=c^4-a^4
c^4-4a^2c^2+3a^4=0
(c^2-3a^2)(c^2-a^2)=0
因为c>a,
所以c=√3a,
离心率e=c/a=√3.