已知函数f(x)=4x+1/x.(1)求函数y=f(x)-4的零点;(2)证明函数f(x)在区间(1/2,+∞)上为增函数.
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已知函数f(x)=4x+1/x.(1)求函数y=f(x)-4的零点;(2)证明函数f(x)在区间(1/2,+∞)上为增函数.
题目
已知函数f(x)=4x+
1
x
答案
解(1)因为
f(x)-4=4x+
1
x
-4
,令f(x)-4=0,得
4x+
1
x
-4=0
,
即4x
2
-4x+1=0,解得
x=
1
2
.
所以函数y=f(x)-4的零点是
1
2
.
(2)设x
1
,x
2
是区间
(
1
2
,+∞)
上的任意两个实数,且x
1
>x
2
,
则
f(
x
1
)-f(
x
2
)=4
x
1
+
1
x
1
-(4
x
2
+
1
x
2
)=4(
x
1
-
x
2
)
x
1
x
2
-
1
4
x
1
x
2
,
由
x
1
>
x
2
>
1
2
,得
x
1
x
2
>
1
4
,
又由x
1
>x
2
,得x
1
-x
2
>0,所以
4(
x
1
-
x
2
)
x
1
x
2
-
1
4
x
1
x
2
>0
,
于是f(x
1
)>f(x
2
),
所以函数f(x)在区间
(
1
2
,+∞)
上为增函数.
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