是否存在实数a,使函数f（x）=loga （ax-√x）在区间[2,4]上是增函数?若存在

题目

是否存在实数a,使函数f（x）=loga （ax-√x）在区间[2,4]上是增函数?若存在
是否存在实数a,使函数f（x）=loga （ax-√x）在区间[2,4]上是增函数?若存在,求 出a的取值范围；若不存在,说明理由．

答案

因为a为底,故a>0,且a≠1,要使其在[2,4]有定义,则至少需要
2a-√2>0,且4a-2>0,
即a>√2/2
记t=√x,则t在区间[√2,2],
真数为g(t)=at^2-t=t(at-1)=a[t-1/(2a)]^2-1/(4a)
当a>1时,g(t)为增函数则f(x)为增函数,而当t>=1/(2a)时为增函数,故有2>=1/(2a),得：a>=1/4,因此a>1符合；
此时在区间[√2,2],都有t(at-1)>0,故a>1符合题意；
当0