设函数f(x)=x²-alnx,g(x)=x²-x,x∈(1,+∞),恒有函数f(x)的图像位于g(x)的上方,求a的范围

题目

设函数f(x)=x²-alnx,g(x)=x²-x,x∈(1,+∞),恒有函数f(x)的图像位于g(x)的上方,求a的范围

答案

x∈(1,+∞),恒有函数f(x)的图像位于g(x)的上方
即x>1时,h(x)=f(x)-g(x)>0恒成立
需h(x)min>0
h(x)=x-alnx
h'(x)=1-a/x=(x-a)/x
当a≤1时,
∵x-a>0,x>1,h'(x)>0,∴h(x)为增函数
∴h(x)无最小值,h(x)>h(1) =1符合题意
当a>1时,
10,h(x)递增
∴h(x)min=h(a)=a-alna
由a-alna>0 ==> 1-lna>0
∴lna