已知f（x）是定义在R上的不恒为0的函数,且对于任意的实数a、b,满足f（ab）=af（b）+bf（a）.

题目

已知f（x）是定义在R上的不恒为0的函数,且对于任意的实数a、b,满足f（ab）=af（b）+bf（a）.
（1）判断函数f（x）在R上是否是单调函数为什么?
（2）判断f（x）的奇偶性,并证明你的判断：
（3）证明：对于任意正整数n恒有 f（a的n次方）=na的n次方f（a）成立.

答案

1,直接令a=b=0或1就可求出f(0)=f(1)=0 2,令a=b=x代入得f(x²)=2xf(x) 再令a=b=-x代入得f(x²)=-2xf(-x)所以有 2x(f(x)+f(-x))=0x不等于0时有 f(x)+f(-x)=0而x=0时上式依然成立,所以f(x)为奇函数 3.= ...