是否存在常数a,b,c,使得等式1.2平方+2.3平方+3.4平方+…+n（n+1）平方=n(n+1)/12(an平方+bn+c)

题目

是否存在常数a,b,c,使得等式1.2平方+2.3平方+3.4平方+…+n（n+1）平方=n(n+1)/12(an平方+bn+c)

答案

存在：3,11,10
122+233+344+...+n（n+1）（n+1） =n(n+1)(ann+bn+c)/12--------------------------1式
122+233+344+...+n（n+1）（n+1）+(n+1)(n+2)(n+2)=(n+1)(n+2)[a(n+1)(n+1)+b(n+1)+c]/12----------2式
2式-1式得：(n+1)(n+2)(n+2)=（n+1）{【（n+2）（ann+（2a+b）n+c】-【ann+bn+c】n}/12
所以,12（n+2）(n+2)=annn+nn(4a+b)+n(a+b+c+4a+2b)+2(a+b+c)-annn-bnn-cn
12nn+48n+48=4ann+(5a+3b)n+2(a+b+c)
4a=12,5a+3b=48,a+b+c=24
a=3,b=11,c=10