已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3．点D为BC边上一点，且BD=2AD，∠ADC=60°，求△ABC的周长（结果保留根号）．

题目

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=

3

．点D为BC边上一点，且BD=2AD，∠ADC=60°，求△ABC的周长（结果保留根号）．

答案

在Rt△ADC中，
∵sin∠ADC=

AC

AD

，
∴AD=

AC

sin∠ADC

=

3

sin60°

=2．
∴BD=2AD=4，
∵tan∠ADC=

AC

DC

，DC=

AC

tan∠ADC

=

3

tan60°

=1，
∴BC=BD+DC=5．
在Rt△ABC中，AB=

AC2+BC2

=2

7

，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=2

7

+5+

3

．

要求△ABC的周长，只要求得BC及AB的长度即可．根据Rt△ADC中∠ADC的正弦值，可以求得AD的长度，也可求得CD的长度；再根据已知条件求得BD的长度，继而求得BC的长度；运用勾股定理可以求得AB的长度，求得△ABC的周长．

本题考点：解直角三角形．

考点点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．