直线y=-2x+4与抛物线y^2=2px(p大于0)相交于A,B两点,若向量OA垂直于向量OB=0,求抛物线方程

题目

直线y=-2x+4与抛物线y^2=2px(p大于0)相交于A,B两点,若向量OA垂直于向量OB=0,求抛物线方程

答案

直线y=-2x+4可改写为直线x=(4-y)/2,与抛物线y²=2px联立消x得
y²+py-4p=0
设A(x1,y1)、B(x2,y2),由韦达定理有
y1+y2= -p
y1y2= -4p
向量OA= (x1,y1)、向量OB=(x2,y2)
因为OA⊥OB,所以向量OA*向量OB=0,即
(x1,y1)*(x2,y2)=0,化简得
x1x2+y1y2=0
[(4-y1)/2]*[ (4-y2)/2]+y1y2=0
5y1y2/4-(y1+y2)+4=0
5(-4p)/4-(-p)+4=0
解得p=1
所以抛物线方程为y²=2x