在钝角三角形ABC内有一点P,∠BAC为120°,连接AP,BP,CP

题目

在钝角三角形ABC内有一点P,∠BAC为120°,连接AP,BP,CP
比较AP+BP+CP与AB+AC的长度.
求有简要的证明过程.（图片以画,但等级太低）

答案

AP+BP+CP＞AB+AC
在三角形所在的平面内,我们能找到一个点到三个顶点的距离和最短,这个点就是所说的费马点.本题里面的钝角刚好等于120度,因些顶点A就是费马点
所以其它任意一点到三个顶点的距离和都比这点到三个大顶点的距离和大,所以
AP+BP+CP＞AB+AC
几何证明方法
把三角形APB绕点A逆时针旋转到三角形ADE的位置,使AD与AC在同一条直线上,连接PE
∵∠BAC=120度
∴∠DAB=60度
∴∠PAE=60度
∵AP=AE
∴三角形APE是等边三角形
∴PE=AP ED=PB AB=AD
∴AB+AC=AC+AD
∵AP+BP+CP=EP+ED+CP
连接PD
∴EP+ED≥PD
∴EP+ED+CP＞PD+CP＞AB+AC
即AP+BP+CP＞AB+AC