求通过两条直线x+3y-10=0和3x-y=0的交点,且距原点为1的直线方程.

求通过两条直线x+3y-10=0和3x-y=0的交点,且距原点为1的直线方程.

题目
求通过两条直线x+3y-10=0和3x-y=0的交点,且距原点为1的直线方程.
答案
(解法一)由方程组
x+3y−10=0
3x−y=0
解得两条直线的交点为A(1,3)
当直线的斜率存在时,设所求直线的方程为:y-3=k(x-1),即kx-y+3-k=0
由点到直线的距离公式可得
|k•0−0+3−k|
k2+1
=1,解得k=
4
3

即直线方程为:4x-3y+5=0,
当直线的斜率不存在时,直线的方程为x=1也符合题意,
故所求直线的方程为:4x-3y+5=0或x=1.
(解法二):由直线系的知识可设所求直线的方程为:(x+3y-10)+λ(3x-y)=0,
即(1+3λ)x+(3-λ)y-10=0,则
|(1+3λ)•0+(3−λ)•0−10|
(1+3λ)2+(3−λ)2
=1

解得λ=±3,故所求直线的方程为:4x-3y+5=0或x=1.
(解法一)由方程组
x+3y−10=0
3x−y=0
解得两条直线的交点为A(1,3),然后由点斜式写方程,通过点到直线的距离求斜率,但要考虑斜率不存在时是否合适;
(解法二)由直线系的知识可设所求直线的方程为:(x+3y-10)+λ(3x-y)=0,通过点到直线的距离求λ,即可得答案.

点到直线的距离公式;直线的一般式方程.

本题为直线方程的求解,设置未知量把问题转化为方程求解的问题来做是解决问题的关键,属基础题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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