使不等式1/n+1+1/n+2+… +1/2n+1<a−20071/3对一切正整数n都成立的最小正整数a的值为_.
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使不等式1/n+1+1/n+2+… +1/2n+1<a−20071/3对一切正整数n都成立的最小正整数a的值为_.
题目
使不等式
1
n+1
+
1
n+2
+… +
1
2n+1
<a−2007
1
3
答案
设:a
n
=
1
n+1
+
1
n+2
+… +
1
2n+1
,
a
n+1
=
1
n+2
+
1
n+3
+… +
1
2n+3
,
a
n+1
-a
n
=
1
2n+2
+
1
2n+3
−
1
n+1
<0
所以{a
n
}对于n为正整数时为单调递减数列,
使不等式
1
n+1
+
1
n+2
+… +
1
2n+1
<a−2007
1
3
对一切正整数n都成立的最小正整数a的值,
就是n=1时,a>
2007
1
3
+
1
2
+
1
3
=2008+
1
6
成立的最小整数.即2009.
故答案为:2009.
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