A,B,AB都是正规矩阵,证明BA是正规矩阵

题目

A,B,AB都是正规矩阵,证明BA是正规矩阵

答案

需要正规阵的一个充要条件:
X 是正规阵的充要条件是 X 所有元素的模的平方和等于 X 的所有特征值的模的平方和,即
||X||_F^2 = sum |lambda_i(X)|^2.
先证明 ||AB||_F=||BA||_F,因为
tr[(AB)*AB] = tr[B*A*AB] = tr[A*ABB*] = tr[AA*B*B] = tr[A*B*BA] = tr[(BA)*BA]
再注意到 AB 和 BA 所有的特征值都相等,利用前面的充要条件即得结论.