如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,以点A(0,-3)为圆心,5为半径作圆A,交x轴于B,C两点,交y轴于点D,E两点. (1)求点B,C,D的坐标; (2)一个二次函数图象经过B,C,D三
题目
如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,以点A(0,-3)为圆心,5为半径作圆A,交x轴于B,C两点,交y轴于点D,E两点.
(1)求点B,C,D的坐标;
(2)一个二次函数图象经过B,C,D三点,求这个二次函数解析式;
(3)P为x轴正半轴上的一点,过点P作与圆A相离并且与x轴垂直的直线,交上述二次函数图象于点F,当△CPF中一个内角的正切值为
时,求点P的坐标.
答案
(1)∵点A的坐标为(0,-3),线段AD=5,
∴点D的坐标(0,2),
连接AC,如图所示:
在Rt△AOC中,∠AOC=90°,OA=3,AC=5,
∴OC=4,
∴点C的坐标为(4,0);同理可得点B坐标为(-4,0);
(2)设所求二次函数的解析式为y=ax
2+bx+c,
由于该二次函数的图象经过B,C,D三点,
则
,
解得:
,
∴所求的二次函数的解析式为y=-
x
2+2;
(3)设点P坐标为(t,0),由题意得t>5,
且点F的坐标为(t,-
t
2+2),PC=t-4,PF=
t
2-2,
∵∠CPF=90°,
∴当△CPF中一个内角的正切值为
时,
①若
=
时,即
=
,解得t
1=12,t
2=4(舍);
②当
=
时,即
=
,解得t
1=0(舍),t
2=4(舍),
则所求点P的坐标为(12,0).
(1)由A的坐标得到OA的长,再由AD的长,利用AD-OA求出OD的长,确定出D的坐标,连接AC,由x轴于y轴垂直,得到三角形AOC为直角三角形,由AC及OA的长,利用勾股定理求出OC的长,确定出C的坐标,同理确定出B的坐标;
(2)设所求二次函数的解析式为y=ax
2+bx+c,将第一问求出的B,C,D的坐标代入,得到关于a,b及c的方程组,求出方程组的解得到a,b及c的值,即可确定出所求抛物线的解析式;
(3)设P的坐标为(t,0),由过P与x轴垂直的直线与圆O外离,且半径为5,得到t大于5,由F在过P与x轴垂直的直线上,得到F的横坐标为t,将t代入抛物线解析式求出F的纵坐标,表示出F的坐标,进而表示出PC与PF,由∠CPF=90°,当△CPF中一个内角的正切值为
时,分两种情况考虑,CP比PF等于
,或PF比CP等于
,方百年列出关于t的方程,求出方程的解得到t的值,找出t大于5的解,即可确定出P的坐标.
二次函数综合题.
此题属于二次函数的综合题,涉及的知识有:勾股定理,利用待定系数法求抛物线的解析式,锐角三角函数定义,以及平面直角坐标系与点的坐标,利用了转化及分类讨论的思想,同时第三问注意求出的t必须大于5.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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