设实数a不等于0,且函数f(x)=a(x^2+1)-(2x+1/a)有最小值-1
题目
设实数a不等于0,且函数f(x)=a(x^2+1)-(2x+1/a)有最小值-1
1)求a的值
2)设数列{an}的前n项和Sn=f(n),令bn=a2+a4+...+a2n,证明{bn}是等差数列
答案
1)f(x)=ax^2 -2x +a-1/a
因为存在最小值 ,所以f(x)开口必须是向上的
所以 a>0
原函数的对称轴是
x = 1/a
代入得f(x)得:
1/a -2/a + a -1/a = -1
a - 2/a=-1
a^2+a-2=0
(a+2)(a-1)=0
因为a>0
所以a = 1
2)Sn=f(n)=(n^2+1)-(2n+1)=n^2-2n
an=S(n)-S(n-1)=n^2-2n-(n-1)^2+2(n-1)=2n-3
bn=[a2+a4+...+a(2n)]/n
=[(4-3)+(8-3)+……+(4n-3)]/n
=[(1/2)(4+4n)n-3n]/n
=2n-1
b1=1,bn-b(n-1)=2n-1-2(n-1)+1=2=d(公差)
所以{bn}是以1为首项,2为公差的等差数列.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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