如图,已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点. (1)求证:MN∥平面PAD; (2)若MN=BC=4,PA=43,求异面直线PA与MN所成的角的大小.

如图,已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点. (1)求证:MN∥平面PAD; (2)若MN=BC=4,PA=43,求异面直线PA与MN所成的角的大小.

题目
如图,已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点.

(1)求证:MN∥平面PAD;
(2)若MN=BC=4,PA=4
3
,求异面直线PA与MN所成的角的大小.
答案
(1)证明:取PD中点Q,连AQ、QN,则AM∥QN,且AM=QN,
∴四边形AMNQ为平行四边形
∴MN∥AQ
又∵AQ在平面PAD内,MN不在平面PAD内
∴MN∥面PAD;
(2)∵MN∥AQ
∴∠PAQ即为异面直线PA与MN所成的角
∵MN=BC=4,PA=4
3

∴AQ=4,根据余弦定理可知cos∠AQD+cos∠AQP=0
16+x2−48
8x
+
16+x2−16
8x
=0

解得x=4
在三角形AQP中,AQ=PQ=4,AP=4
3

∴cos∠PAQ=
48+16−16
2×4×4
3
=
3
2

即∠PAQ=30°
∴异面直线PA与MN所成的角的大小为30°.
(1)取PD中点Q,连AQ、QN,根据四边形AMNQ为平行四边形可得MN∥AQ,根据直线与平面平行的判定定理可证得EF∥面PAD;
(2)根据MN∥AQ,则∠PAQ即为异面直线PA与MN所成的角,然后解三角形PAQ,可求出此角即可.

直线与平面平行的判定;异面直线及其所成的角.

本题主要考查了线面平行的判定定理,以及异面直线所成角,同时考查了空间想象能力,属于基础题.

举一反三
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