已知曲线C的极坐标方程为:ρ2−22ρcos(θ+π4)-2=0(I)若直线l过原点,且被曲线C截得弦长最小值;(II)M(x,y)是曲线C上的动点,求x+y的最大值.
题目
已知曲线C的极坐标方程为:
ρ2−2ρcos(θ+)-2=0
(I)若直线l过原点,且被曲线C截得弦长最小值;
(II)M(x,y)是曲线C上的动点,求x+y的最大值.
答案
(Ⅰ) 曲线C的极坐标方程
ρ2-2ρcos(θ+)-2=0
即ρ
2-2ρ(cosθ-sinθ)-2=0
化为直角坐标方程为:x
2+y
2-2x+2y-2=0
即(x-1)
2+(y+1)
2=4
表示圆心C(1,-1),2为半径的圆.
当l与OC垂直时,被曲线C截得弦长最小;
此时弦长=2
=2
(Ⅱ)设
,θ为参数,
则x+y=2cosθ+2sinθ=2
sin(
θ+)≤2
x+y的最大值为2
.
(Ⅰ) 曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为(x-1)
2+(y+1)
2=4,当l与OC垂直时,被曲线C截得弦长最小,利用圆的几何性质求解.
(Ⅱ)设
,θ为参数,得出x+y=2cosθ+2sinθ,利用三角函数知识求最值.
简单曲线的极坐标方程;直线与圆相交的性质.
本题考查曲线的极坐标方程,普通方程、参数方程的互化及应用,考查圆的几何性质、三角恒等变换能力.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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