过点p（4,2）作圆x^2+y^2=1的两条切线,切点分别为A,B,O为坐标原点,则三角形OAB的外接圆方程为

题目

过点p（4,2）作圆x^2+y^2=1的两条切线,切点分别为A,B,O为坐标原点,则三角形OAB的外接圆方程为

答案

连接AB,OP,则OA⊥AP,OB⊥BP,PO⊥AB,且平分AB,
∴OP=2√2,OA=1=OB,∴PA=PB=√7,
设A点坐标为A﹙m,n﹚,则：
①﹙2－m﹚²＋﹙2－n﹚²=7
②m²＋n²=1解得：
m=¼﹙1±√7﹚,n=¼﹙1－±√7﹚,
∴A﹙¼﹙1＋√7﹚,¼﹙1－√7﹚﹚,
B﹙¼﹙1－√7﹚,¼﹙1＋√7﹚﹚,
△OAB的外接圆的圆心D一定在OP上,
由P点坐标得OP直线方程是：y=x,
同时D也一定在OA的垂直平分线上,
∴OA直线方程为：y=[﹙√7－4﹚／3]x,
由中点公式得：
OA中点E坐标为E﹙½×¼﹙1＋√7﹚,½×¼﹙1－√7﹚﹚,
∵DE⊥OA,
∴DE直线方程可以设：y=[－3／﹙√7－4﹚]x＋b,
将E点坐标代入解得：b=﹙－1－√7﹚／3,
∴DE直线方程为：y=[－3／﹙√7－4﹚]x＋﹙－1－√7﹚／3,
由DE、OP直线方程可以解得交点D坐标为：﹙1,1﹚,
而OD=√2,
∴圆D方程为：﹙x－1﹚²＋﹙y－1﹚²=2.