已知集合A={(x,y)|y=x2+mx+2},B={(x,y)|y=x+1,x>0},若A∩B≠∅,求m的取值范围.

已知集合A={(x,y)|y=x2+mx+2},B={(x,y)|y=x+1,x>0},若A∩B≠∅,求m的取值范围.

题目
已知集合A={(x,y)|y=x2+mx+2},B={(x,y)|y=x+1,x>0},若A∩B≠∅,求m的取值范围.
答案
因为A={(x,y)|y=x2+mx+2},B={(x,y)|y=x+1,x>0},
要使A∩B≠∅,只要
y=x2+mx+2
y=x+1
(x>0)有解即可
只要方程x2+(m-1)x+1=0有正根即可,只要
1-m>0
(m-1)2-4≥0

解得m<-1
故m的取值范围是(-∞,-1)
要使A∩B≠∅,只要抛物线y=x2+mx+2与直线y=x+1在Y轴右侧有交点即可,联立方程组得方程有正根即可

集合的包含关系判断及应用.

本题考查了一元二次不等式的解法,依据一元二次区间根存在的条件,结合图象,体现数形结合的思想,属于恒成立的题型.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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