已知点P为线段CB上方一点,CA⊥CB,PA⊥PB,且PA=PB,PM⊥BC于M,若CA=1,PM=4.求CB的长.

已知点P为线段CB上方一点,CA⊥CB,PA⊥PB,且PA=PB,PM⊥BC于M,若CA=1,PM=4.求CB的长.

题目
已知点P为线段CB上方一点,CA⊥CB,PA⊥PB,且PA=PB,PM⊥BC于M,若CA=1,PM=4.求CB的长.
答案
此题分以下两种情况:
①如图1,过P作PN⊥CA于N,
∵PA⊥PB,
∴∠APB=90°,
∵∠NPM=90°,
∴∠NPA=∠BPM,
在△PMB和△PNA中,
∠N=∠BMP
∠NPA=∠BPM
PA=PB

∴△PMB≌△PNA,
∴PM=PN=4=CM,BM=AN=3,
∴BC=7;
②如图2,过P作PN⊥CA于N,
∵PA⊥PB,
∴∠APB=90°,
∵∠NPM=90°,
∴∠NPA=∠BPM,
在△PMB和△PNA中,
∠N=∠BMP
∠NPA=∠BPM
PA=PB

∴△PMB≌△PNA,
∴PM=PN=4=CM,BM=AN=5,
可得BC=9.
综合上述CB=7或9.
根据全等三角形的判定得出△PMB≌△PNA,进而分类讨论得出答案即可.

全等三角形的判定与性质.

此题主要考查了全等三角形的判定与性质,熟练掌握全等三角形的判定定理得出是解题关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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