已知直线y=二分之一x+3,与x轴,y轴交于A,B两点,把抛物线y=-四分之一x²沿水平方向平移,再沿竖直方向平移,使它通过点A,B,求平移后抛物线的顶点坐标,并说明平移过程

题目

已知直线y=二分之一x+3,与x轴,y轴交于A,B两点,把抛物线y=-四分之一x²沿水平方向平移,再沿竖直方向平移,使它通过点A,B,求平移后抛物线的顶点坐标,并说明平移过程

答案

直线y=(1/2)x+3
当x=0时,y=3; 直线与y轴的交点坐标为B(0,3)
当y=0时,(1/2)x+3=0,x=-6；直线与x轴的交点坐标为A(-6,0)
抛物线y=(-1/4)x²经过平移后,抛物线的形状不变
设抛物线y=(-1/4)x²平移后的解析式为y=(-1/4)(x-h)²+k 平移后的抛物线的顶点坐标为(h,k)
平移后的抛物线y=(-1/4)(x-h)²+k经过A(-6,0)、B(0,3)
分别把x=-6,y=0; x=0,y=3代入y=(-1/4)(x-h)²+k,得关于h,k的方程组
(-1/4)(-6-h)²+k=0 (1)
(-1/4)(0-h)²+k=3 (2)
整理(1)得
h²+12h+36-4k=0 (3)
整理(2)得
h²-4k+12=0 (4)
(3)-(4)得
12h+24=0
h=-2,代入(4)得
(-2)²-4k+12=0
4k=16
k=4
所以,平移后抛物线的顶点坐标为(-2,4)
平移后的抛物线是把原抛物线y=(-1/4)x²向左移动了2个单位长度、再向上移动了4个单位长度得到的.