设f（x）=1+x+（1+x）2+…+（1+x）n（x≠0,n∈N*）的展开式中x^2项的系数为Tn

题目

设f（x）=1+x+（1+x）2+…+（1+x）n（x≠0,n∈N*）的展开式中x^2项的系数为Tn
则lim Tn/（n^3+5n^2)等于 答案是1/6
x→∞

答案

(1+x)^n中x^2项的系数是n(n-1)/2 （组合公式,或者杨辉三角）
所以Tn=1/2Σ(n^2-n)=1/2(Σn^2-Σn)
由求和公式得到Σn^2=1/6n(n+1)(2n+1);Σn=1/2n(n+1)
那么Tn=1/3n(n^2-1)
Tn/(n^3+5n^2)=(n^2-1)/(6n^2+30n)
根据极限公式,n无限大时LimTn=1/6