1/1x3+1/3x5+1/5x7+……+1/99x101

题目

1/1x3+1/3x5+1/5x7+……+1/99x101
有固定公式的最好给出公式.

答案

首先把每一个分式拆成两项之差,即
1/1×3+1/3×5+1/5×7+……1/99×101= (1/2)×(1-1/3)+(1/2)×(1/3-1/5)+(1/2)×(1/5-1/7)+……+(1/2)×（1/99-1/101）
然后将每一项的1/2提出来,即原式=(1/2)×(1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+……+1/99-1/101)
观察这个式子,可以看到从第二项即1/3开始,每一项都可以和后面的一项相消,相消后只剩下1和1/101两项,即
原式=(1/2)x(1-1/101)=50/101
可以概括为
1/(2n-1)*(2n+1)＝1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)
原式＝1/2{1/1-1/3+1/3-1/5+...+1/(2n-1)-1/(2n+1)}
=1/2{1-1/(2n+1)}
由上式可知n=50,这样结果为50/101