求数列求和的几种方法（至少7种说明清楚）且要相应的例题.

题目

求数列求和的几种方法（至少7种说明清楚）且要相应的例题.

答案

1.公式法：
等差数列求和公式:
Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2
等比数列求和公式：
Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)
2.错位相减法
适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式 { an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn
例如：an=a1+(n-1)d bn=a1·q^(n-1) Cn=anbn Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4.+anbn
qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)
Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)
Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn) =a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q) Tn=上述式子/(1-q)
3.倒序相加法
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列（反序）,再把它与原数列相加,就可以得到n个(a1+an)
Sn =a1+ a2+ a3+.+an Sn =an+ a(n-1)+a(n-3).+a1 上下相加 得到2Sn 即 Sn= （a1+an)n/2
4.分组法
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.例如：an=2^n+n-1
5.裂项法
适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式,即an=f(n+1)－f(n),然后累加时抵消中间的许多项.常用公式：
（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5） n·n!=(n+1)!-n!
[例] 求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.
an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （裂项）
则Sn =1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）＝ 1-1/(n+1)＝ n/(n+1)
小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后,其中中间的大部分项都互相抵消了.只剩下有限的几项.注意：余下的项具有如下的特点 1余下的项前后的位置前后是对称的.2余下的项前后的正负性是相反的.
6.数学归纳法
一般地,证明一个与正整数n有关的命题,有如下步骤：
（1）证明当n取第一个值时命题成立；
（2）假设当n=k（k≥n的第一个值,k为自然数）时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.
例：求证：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5 证明：当n=1时,有：1×2×3×4 + 2×3×4×5 = 2×3×4×5×(1/5 +1) = 2×3×4×5×6/5 假设命题在n=k时成立,于是：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 则当n=k+1时有：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1) = [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5 即n=k+1时原等式仍然成立,归纳得证
7.通项化归
先将通项公式进行化简,再进行求和.如：求数列1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,……的前n项和.此时先将an求出,再利用分组等方法求和.
8.并项求和：
例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n （并项）
求出奇数项和偶数项的和,再相减.