1.设函数f(x)定义于实数集上,对于任意实数x,y,f(x+y)=f(x)f(y)总成立,且存在x1≠x2,使得

题目

1.设函数f(x)定义于实数集上,对于任意实数x,y,f(x+y)=f(x)f(y)总成立,且存在x1≠x2,使得
f（x1）≠f（x2）求函数的值域

答案

对于任意实数x,y,f(x+y)=f(x)f(y)总成立
∴f(x)=f(x/2+x/2)=f(x/2)*f(x/2)=f²(x/2)≥0
若存在x0∈R,f(x0)=0
那么f(x)=f[(x-x0)+x0]=f(x-x0)f(x0)=0恒成立
(x)的值恒为0 与存在x1≠x2,使得f（x1）≠f（x2）
矛盾
∴不存在x0∈R,使f(x0)=0
∴f(x)≠0恒成立
∴f(x)>0
∴f(x)的值域为(0,+∞)