求证 正交矩阵的特征值只能是1或-1

题目

求证 正交矩阵的特征值只能是1或-1

答案

证:设A是正交矩阵,λ是A的特征值,α是A的属于λ的特征向量
则 A^TA = E (E单位矩阵),Aα=λα,α≠0
考虑向量λα与λα的内积.
一方面,(λα,λα)=λ^2(α,α).
另一方面,
(λα,λα) = (Aα,Aα) = (Aα)^T(Aα) = α^TA^TAα
= α^Tα = (α,α).
所以有 λ^2(α,α) = (α,α).
又因为 α≠0,所以 (α,α)>0.
所以 λ^2 = 1.
所以 λ = ±1.
即正交矩阵的特征值只能是1或-1 #