关于x的函数Y=2cos²x-2acosx-2a-1的最小值为f(a) 写出f(a)的表达式

题目

关于x的函数Y=2cos²x-2acosx-2a-1的最小值为f(a) 写出f(a)的表达式

答案

令cosx=z.则：y=2z^2-2az-2a-1.(-1≤z≤1).对称轴z=a/2.
1.当a/2＜-1时；
则y=2z^2-2az-2a-1在-1≤z≤1单调上升,所以最小为y(-1).
即：f(a)=y(-1)=2+2a-2a-1=1.
2.当-1≤a/2≤1时；
y=2z^2-2az-2a-1在-1≤z≤1的最小为z=a/2.
即：f(a)=y(a/2)=(8*(-2a-1)-(-2a)^2)/8=-0.5a^2-2a-1
3.当a/2＞1时；
则y=2z^2-2az-2a-1在-1≤z≤1单调下降,所以最小为y(1).
即：f(a)=y(1)=2-2a-2a-1=-4a+1.
所以f(a)是一个分段函数,表示为：
1.a＜-2,f(a)=1；
2.-2≤a≤2,f(a)=-0.5a^2-2a-1；
3.a＞2,f(a)=-4a+1.