如图,⊙O的半径为1cm,弦AB、CD的长度分别为2cm,1cm,则弦AC、BD所夹的锐角α=_度.
题目
如图,⊙O的半径为1cm,弦AB、CD的长度分别为
cm,1cm,则弦AC、BD所夹的锐角α=______度.
答案
连接OA、OB、OC、OD,
∵OA=OB=OC=OD=1,AB=
,CD=1,
∴OA
2+OB
2=AB
2,
∴△AOB是等腰直角三角形,
△COD是等边三角形,
∴∠OAB=∠OBA=45°,∠ODC=∠OCD=60°,
∵∠CDB=∠CAB,∠ODB=∠OBD,
∴α=180°-∠CAB-∠OBA-∠OBD=180°-∠OBA-(∠CDB+∠ODB)=180°-45°-60°=75°.
根据勾股定理的逆定理可证△AOB是等腰直角三角形,故可求∠OAB=∠OBA=45°,又由已知可证△COD是等边三角形,所以∠ODC=∠OCD=60°,根据圆周角的性质可证∠CDB=∠CAB,而∠ODB=∠OBD,所以∠CAB+∠OBD=∠CDB+∠ODB=∠ODC=60°,再根据三角形的内角和定理可求α.
圆心角、弧、弦的关系;三角形的外角性质;勾股定理;垂径定理.
本题考查了勾股定理的逆定理,圆周角的性质,等边三角形的性质以及三角形的内角和定理.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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