已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M是A1A的中点,o是对角线BD1中点.求证OM为异面直线AA1,BD1的公垂线

题目

已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M是A1A的中点,o是对角线BD1中点.求证OM为异面直线AA1,BD1的公垂线
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答案

连结MD1,MB,在三角形A1MD1中,A1D1=a,A1M=a/2,根据勾股定理,MD1=a√5/2,
同理MB=a√5/2,
∴MB=MD1,△MBD1是等腰△,
O是BD1的中点,
MO是△MBD1中线,也是其高,
∴MO⊥BD1,
AA1‖CC1,AA1⊥AC,
四边形ACC1A1是矩形,
O是该矩形对角线交点,且对角线相等,
则A1O=AO,
在三角形AA1O中OM是AA1上的中线,
也是其高,
故OM⊥AA1,
∴OM⊥AA1,MO⊥BD1,
OM为异面直线AA1,BD1的公垂线.