设函数f(x)=2cos²ωx+sin(2ωx-π／6)+a(其中ω＞0,a属于R),且f(x)的图像在y轴右侧的第一个最高点的

题目

设函数f(x)=2cos²ωx+sin(2ωx-π／6)+a(其中ω＞0,a属于R),且f(x)的图像在y轴右侧的第一个最高点的
为π／6
（1）求ω的值
（2）如果f（x）在区间[π／6,π／3]上的最小值为根号下3,求a的值

答案

①,f(x)＝2cos²ωx＋sin﹙2ωx－π/6﹚＋a
＝1＋cos2ωx＋sin2ωx·cosπ/6－cos2ωx·sinπ/6＋a
＝1＋a＋sin2ωx·cosπ/6＋cos2ωx·sinπ/6
＝1＋a＋sin﹙2ωx＋π/6﹚,
当2ω·π/6＋π/6＝π/2,即图像出现y轴右侧的第一个最高点（横坐标x=π/6),此时,ω＝1.
②,函数f(x)的最小正周期为T＝π.图像出现第一个最高点之后的第一个最低点,的横坐标为x=π/6＋π/2＝2π/3,所以,函数的一个单调减区间是[π/6,2π/3].题目所给的区间是它的子集.
所以,我们将x=π/3代入,得到
1＋a＋sin﹙2·π/3＋π/6﹚＝√3,1＋a＋sin﹙5π/6﹚＝√3,
∴1＋a＋½＝√3,∴a＝﹙－3/2﹚＋√3.