已知函数f(x)=x^3+ax^2+b的图像在点P（1,f(1)）处的切线为3x+y-3=0.

题目

已知函数f(x)=x^3+ax^2+b的图像在点P（1,f(1)）处的切线为3x+y-3=0.
1）求函数f(x)的单调区间.
2）求函数在区间[0,t]（t>0）上最值
本人知道具体解题步骤,只是不明白第二问中为什么要讨论t与3的关系,3与最值点无关,望高手尽快回复

答案

1）由题目条件
f'(1)=3+2a=-3 f(1)=1+a+b=0
解得a=-3,b=2,于是f(x)=x^3-3x^2+2,f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)
于是f(x)在[0,2]上单减,在（-∞,0）,（2,+∞)上单调递增
2）由于[0,t]是一个不确定长度的空间,当t2时,函数变成先减后增,则函数在x=2上取得最小值 f(2)=-2,函数最大值为两个端点的较大值,即f(0)与f(t)中较大的一个,故需要比较两者的关系.
由f(t)>f(0),解得t>3或t3时,最大值为f(t)=t^3-3t^2+2,2