圆(x-3m)^2+(y-m+1)^2=5,求证无论M为何值,圆心都在同一条直线上

题目

圆(x-3m)^2+(y-m+1)^2=5,求证无论M为何值,圆心都在同一条直线上
圆x^2+y^2-6mx-2(m-1)y+10m^2-2m-24=0,(1)求证:不论m为何值,圆心在同一条直线中:(2)与L平行的直线中,哪些直线与圆相交、相切、相离

答案

解(1) 由x^2+y^2-6mx-2(m-1)y+10m^2-2m-24=0 得
(x-3m)^2+〔y-（m-1）〕^2=25
即该园的园心O(3m,m-1),半径为5
令x=3m y=m-1 则y=x/3-1 也即该园的圆心在y=x/3-1这条直线L上,与m的值无关
(2)通过画图知道,平行于直线L且与该园相切的直线有两条,设L1:y=x/3+b1(b1＜0) L2:y=x/3+b2(b2＞0)
设L 、L1分别交y轴于B、B1,作B1C⊥L于 C1
则OB=1 OB1=-b B1B=-1-b1 B1C1=5 C1B=5*1/3=5/3
由勾股定理得 B1B^2=B1C1^2+BC1^2
(-1-b1)^2=5^2+(5/3)^2
解得 b1=-5√10/3-1 或b1=5√10/3-1 （舍去）
同理可求得 b2=5√10/3-1
故在与直线L平行的所有直线y=x/3+b中
当b＜-5√10/3-1和b＞5√10/3-1 时 直线与圆相离；
当-5√10/3-1＜b＜5√10/3-1 时 直线与圆相交；
当b=-5√10/3-1 或b=5√10/3-1直线与圆相切.