已知实数a,b,c满足a+b+c=1,a2+b2+c2=3,则abc的最大值为_.
题目
已知实数a,b,c满足a+b+c=1,a2+b2+c2=3,则abc的最大值为___.
答案
由a+b+c=1,a
2+b
2+c
2=3 可得
1=(a+b+c)
2=a
2+b
2+c
2 +2ab+2bc+2ac=3+(2ab+2bc+2ac ),故有 ab+bc+ac=-1.
∴-1=ab+c(a+b)=ab+c(1-c),∴ab=c
2-c-1.
又a+b=1-c,∴由韦达定理可知,a和b是关于x的方程 x
2+(c-1)x+(c
2-c-1)=0的两根.
∴△=(c-1)
2-4(c
2-c-1)≥0,整理可得3c
2-2c-5≤0,解得-1≤c≤
.
再由ab=c
2-c-1,可得abc=c
3-c
2-c.
构造函数f(x)=x
3-x
2-x,-1≤x≤
,
求导可得 f'(x)=3x
2-2x-1=(x-1)(3x+1),令f′(x)=0,可得x=-
,或 x=1.
在[-1,-
)、[1,
)上,f′(x)>0,f(x)是增函数.
在(-
,1)上,f′(x)<0,f(x)是减函数.
∴f(x)max=max{f(-
),f(
)}=
,
∴(abc)max=
,
故答案为
.
由条件可得 1=(a+b+c)
2,化简可得ab+bc+ac=-1.求得ab=c
2-c-1,又a+b=1-c,可得a和b是关于x的方程 x
2+(c-1)x+(c
2-c-1)=0的两根.由△≥0,解得-1≤c≤
.abc=c
3-c
2-c.利用导数研究函数的单调性,由函数的单调性求函数的最值.
导数在最大值、最小值问题中的应用
本题主要考查二次函数的性质、韦达定理,利用导数研究函数的单调性,由函数的单调性求函数的最值,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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