是否存在角α,β,α∈(—π/2,π/2),β∈(0,π),使得等式sin(3π-α)=√2cos(π+β),√3cos(-α)

题目

是否存在角α,β,α∈(—π/2,π/2),β∈(0,π),使得等式sin(3π-α)=√2cos(π+β),√3cos(-α)
接上面=-跟号2cos（π+β）同时成立?若存在,求出α、β的值；若不存在,请说明理由

答案

sin(3π-α)= sin(π-α)=sin α
√2 cos(π/2 - β)=√2 sin β
√3 cos(-α)=√3 cos α
-√2cos(π+β)=√2cos β
所以cos α= √(2/3) cos β
sin α=√2 sin β
cos α= √(2/3) cos β
两式子平方相加：
1=2 sin^2 β + 2/3 cos^2 β
1/3 = 4/3 sin^2 β
sin^2 β = 1/4
因为β∈(-π,0)
所以sin β= - 1/2
β=-π/6 或 -5π/6
又因为sin α=√2 sin β
所以sin α= - √2 / 2
但α∈(0,π),sin α应该恒大于0
所以α不存在,所以不存在α,β,使两条件同时成立.