平面方程和法向量的关系及证明

题目

平面方程和法向量的关系及证明

答案

所谓平面的法向量,就是与平面垂直的一个向量,它就是由平面方程中三个未知数的系数所组成的向量.
它们的关系可如此证明：
设向量（A,B,C)是一个过点(x0,y0,z0)的一个法向量,则它与平面上的所有向量均垂直.平面上的向量均可表示为：(x-x0,y-y0,z-z0),因为向量（A,B,C)与向量(x-x0,y-y0,z-z0)垂直,所以其数量积为0,即：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
整理得：Ax+By+Cz+D=0
可见,标准方程中,三个未知数的系数所组成的向量(A,B,C),就是平面的一个法向量.