在椭圆x240+y210=1内有一点M（4，-1），使过点M的弦AB的中点正好为点M，求弦AB所在的直线的方程．

题目

在椭圆

答案

由题意，直线的斜率存在
设直线的斜率为k，则方程为y+1=k（x-4），与椭圆

=1联立，
消去y得（1+4k²）x²-（32k²+8k）x-40=0，
∴x₁+x₂=

32k2+8k

1+4k2

∵M是弦AB的中点，
∴

32k2+8k

1+4k2

=8，解得k=1，
此时方程（1+4k²）x²-（32k²+8k）x-40=0的判别式大于0，从而直线AB与椭圆有两个交点，k=1符合题意．
∴AB的方程是x-y-5=0．

举一反三

已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．

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