设abc为正实数,求证:a+b+c

题目

设abc为正实数,求证:a+b+c

答案

由均值不等式：a+b≥2√ab及平方均值不等式：（a²+b²)/2≥[(a+b)/2]²得：
(a²+b²)/(2c) + c≥2√(a²+b²)/2≥a+b;
即：(a²+b²)/(2c)+c≥a+b;
同理(b²+c²)/(2a)+a≥b+c;
(a²+c²)/(2b)+b≥a+c;
以上三个同向不等式相加得：（a²+b²)/(2c) +(b²+c²)/(2a)+(a²+c²)/(2b)≥a+b+c