二维随机变量（x,y）服从平面区域D均匀分布,其中D是以（-1,0）（0,1）（1,0）（0,-1）为顶点正方形区域

题目

二维随机变量（x,y）服从平面区域D均匀分布,其中D是以（-1,0）（0,1）（1,0）（0,-1）为顶点正方形区域
求1.求X的边缘概率密度
2.求在X=x条件下,Y的条件概率密度f（Y/X）（y/x）

答案

(1)
显然D由四条直线：x±y=±1 围成
形状为一边长为√2的正方形,面积Sd=2
因而得到联合密度：
p(x,y)=
x051/2,x05x05(x,y)∈D
x050,x05x05or else
因为|x|>1时,p(x,y)=0,此时边际密度pξ(x)=0;
而|x|≤1时：
x05pξ(x)=∫{1-|x|,|x|-1} (1/2)dy =1-|x|
∴pξ(x)=
x051-|x|,x05x05|x|≤1
x050,x05x05|x|>1
同理
pη(y)=
x051-|y|,x05x05|y|≤1
x050,x05x05|y|>1
(2)
对于-1≤x≤1：
x05f(y|x)
x05=p(xy)/pξ(x)
x05=(1/2)/[1-|x|]