知二次函数图像顶点坐标为M（2,0）,直线y=x+2与该二次函数的图像交于A,B两点,其中点A在y轴上

题目

知二次函数图像顶点坐标为M（2,0）,直线y=x+2与该二次函数的图像交于A,B两点,其中点A在y轴上
1）求该二次函数的解析式
2）p为线段AB上一个动点,过P做x轴的垂线与二次函数的图像交于点Q,设线段PQ的长为a,点P的横坐标为x,求出a于x之间的函数解析式,并求出定义域
3）在2）的条件下,线段AB上是否存在一点P,使四边形PQMA为梯形,如果存在求出点P的坐标,并求出面积

答案

1)   二次函数的解析式  :y= a(X-2)^2  ,因 A(0,2)  ,代入二次函数得 a=1/2 
      故函数的解析式:    y=1/2(X-2)^2 ,
2)   P(X  ,X+2) ,   Q (X, y) ,     PQ=L=  X+2- [1/2(X-2)^2] , 即 L= -1/2X^2+3X   
        因 A(0,2) ,  B ( 6, 8）　,故　　0< X < 6
3) 过M(2,0) 作MQ//AB ,交二次函数曲线于Q ,则PQMA为梯形
       MQ :    y=X-2 ,与 y=1/2(X-2)^2 ,联立得  X^2-6X+8=0  ,得交点Q ( 4 ,2) 
     于是   点P (4 ,6)