如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=22AD，若E、F分别为PC、BD的中点． （1）求证：EF∥平面PAD； （2）求证：平面PDC

题目

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

2

2

AD，若E、F分别为PC、BD的中点．

（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：平面PDC⊥平面PAD．
（3）求四棱锥P-ABCD的体积V_P-ABCD．

答案

（1）证明：连接AC，则F是AC的中点，在△CPA中，EF∥PA，…（2分）
∵PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，
∴EF∥平面PAD                              …（4分）
（2）证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，…（7分）
又CD⊂平面PDC，∴平面PAD⊥平面PDC．…（8分）
（3）∵PA＝PD＝

2

2

AD＝

2

，∴PA²+PD²=AD²，
∴PA⊥PD，S△PAD＝

1

2

(

2

)2＝1，…（10分）
又由（2）可知CD⊥平面PAD，CD=2，…（11分）
∴VP−ADC＝VC−PAD＝

1

3

×1×2＝

2

3

，…（13分）
∴VP−ABCD＝2VP−ADC＝2×

2

3

＝

4

3

．…（14分）

（1）连接AC，利用三角形中位线的性质，证明EF∥PA，利用线面平行的判定，可得EF∥平面PAD；
（2）面面垂直的性质，证明CD⊥平面PAD，进而可证平面PAD⊥平面PDC；
（3）先计算P-ADC的体积，再计算求四棱锥P-ABCD的体积V_P-ABCD．

本题考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．

考点点评：本题考查线面平行，考查面面垂直，考查棱锥体积的计算，解题的关键是掌握线面平行，面面垂直的判定，正确运用棱锥的体积公式，属于中档题．