数列{an}中a1=1 a(n+1)=2Sn + 1等差数列{bn}中bn大于0 b1+b2+b3=15且a1+b1,a2+b2,a3+b3,成等比数列

题目

数列{an}中a1=1 a(n+1)=2Sn + 1等差数列{bn}中bn大于0 b1+b2+b3=15且a1+b1,a2+b2,a3+b3,成等比数列
1 求an和bn
2 求数列｛anbn｝的前n项和Tn

答案

第1问：
a(n+1)=2Sn+1
an=2S(n-1)+1
a(n+1)-an=2[Sn-S(n-1)]=2an
a(n+1)=3an
数列｛an｝是首项为1,公比为3的等比数列
所以an=3^(n-1)
b1+b2+b3=3b2=15
b2=5
b1=5-d,b3=5+d
(a1+b1)*(a3+b3)=(a2+b2)²
(1+5-d)*(9+5+d)=(3+5)²=64
d²+8d-20=0
(d-2)*(d+10)=0
d=2或d=-10
因为bn>0
所以舍去d=-10
则d=2
bn=b2+(n-2)d=5+2(n-2)=2n+1
所以an=3^(n-1),bn=2n+1
第2问：
Tn=a1*b1+a2*b2+……+an*bn
3Tn=a2*b1+a3*b2+……+a(n+1)*bn
Tn-3Tn
=a1*b1+a2*(b2-b1)+a3*(b3-b2)+……+an*[bn-b(n-1)]-a(n+1)*bn
=a1*b1+2*(a2+a3+……+an)-a(n+1)*bn
=1*3+2*a2*[1-3^(n-1)]/(1-3)-3^n*(2n+1)
=4+3*[3^(n-1)-1]-3^n*(2n+1)
=1-2n*3^n
所以Tn=n*3^n-1/2