在等腰直角三角形ABC中,C为直角,内有一点D,DC=DB,∠DCB=∠DBC=15°,证明AC=AD
题目
在等腰直角三角形ABC中,C为直角,内有一点D,DC=DB,∠DCB=∠DBC=15°,证明AC=AD
答案
AC边以A点为旋转中心,向斜边旋转60度,C点旋转到P点,连接PC、PD,
∵△ACP为正△
∴PC=PA=AC=BC
∴等腰直角三角形ABC,C为直角
∴AC=BC且∠ACP=∠CAP=60度
又∠DCB=∠DBC=15度
∴∠PCD=15度
即∠PCD=∠DCB=∠DBC
在△DCP和△DCB中,
∠PCD=∠DCB
PC=BC
CD=CD
∴△DCP≌△DCB
∴DP=DB=DC
在△DAC和△DAP中
DC=DP
PA=AC
AD=AD
∴△DAC≌△DAP
∴∠CAD=∠PAD=1/2∠CAP=30度
∵在△CAD中
∠ACD=90度-∠DCB=75度,∠CAD=30度
∴∠ADC=75度=∠ACD
∴AC=AD
举一反三
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