若方程ax2-x-1=0在(0,1)内恰有一解,求实数a的取值范围.
题目
若方程ax2-x-1=0在(0,1)内恰有一解,求实数a的取值范围.
答案
(1)当a=0时,f(x)=-x-1,其零点为-1∉[0,1],∴a≠0;
(2)当a≠0,∵方程ax2-x-1=0在(0,1)内恰有一解,
即二次函数函数f(x)=ax2-x-1在(0,1)内恰有一个零点,
∴f(0)•f(1)<0,
即-1×(a-2)<0,
解得a>2.
故a的取值范围为(2,+∞).
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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