已知函数f(x)=(bx+c)/(x+1)的图象过原点,且关于点(-1,1)成中心对称.
题目
已知函数f(x)=(bx+c)/(x+1)的图象过原点,且关于点(-1,1)成中心对称.
(1)求函数f(x)的解析式
(2)若数列{an}满足:数列an>0,a1=1,a(n+1)=[f(an的平方根)]²,求a2,a3,a4 的值,猜想数列{an}的通项公式an,并证明你的结论.
(3)若数列{an}的前n项和为Sn,判断Sn与2的大小关系,并证明你的结论.
答案
1)f(x)过原点 f(0)=0 所以c=0
f(x)关于(-1,1)中心对称 则f(x)-1关于(-1,0)中心对称
f(0)-1=-[f(-2)-1] c=0
所以b=1
解得f(x)=x/(x+1) (x不等于-1)
2)a1=1 a(2)=[f(√1)]²=(1/2)²
同理a3=(1/3)² a4=(1/4)²
猜想an=(1/n)²
证明:a(n+1)=[f(√an)]² 因为an>0所以√an>0 f(x)=x/(x+1) 所以[f(√an)]²>0 所以a(n+1)>0
等式两侧开根号 得到√a(n+1)=√an/(1+√an) 等式两侧取倒数得到1/√a(n+1)=(1+√an) /√an 1/√a(n+1)=(1/√an)+1
所以 1/√a(n+1)-1/√an=1 所以{1/√an}为首项为1 公差为1的等差数列
1/√an=n 所以an=(1/n)²
3)由an=(1/n)² Sn=(1/1)²+(1/2)²+(1/3)²+……(1/n)²
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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