已知函数f(x)=(bx+c)/(x+1)的图象过原点,且关于点（-1,1）成中心对称.

题目

已知函数f(x)=(bx+c)/(x+1)的图象过原点,且关于点（-1,1）成中心对称.
（1）求函数f(x)的解析式
（2）若数列{an}满足：数列an＞0,a1=1,a（n+1)=[f（an的平方根）]²,求a2,a3,a4 的值,猜想数列{an}的通项公式an,并证明你的结论.
（3）若数列{an}的前n项和为Sn,判断Sn与2的大小关系,并证明你的结论.

答案

1)f(x)过原点 f(0)=0 所以c=0
f(x)关于(-1,1)中心对称 则f(x)-1关于(-1,0)中心对称
f(0)-1=-[f(-2)-1] c=0
所以b=1
解得f(x)=x/(x+1) (x不等于-1)
2)a1=1 a（2)=[f（√1）]²=(1/2)²
同理a3=(1/3)² a4=(1/4)²
猜想an=(1/n)²
证明:a（n+1)=[f（√an）]² 因为an>0所以√an>0 f(x)=x/(x+1) 所以[f（√an）]²>0 所以a（n+1)>0
等式两侧开根号 得到√a（n+1)=√an/(1+√an) 等式两侧取倒数得到1/√a（n+1)=(1+√an) /√an 1/√a（n+1)=(1/√an)+1
所以 1/√a（n+1)-1/√an=1 所以{1/√an}为首项为1 公差为1的等差数列
1/√an=n 所以an=(1/n)²
3)由an=(1/n)² Sn=(1/1)²+(1/2)²+(1/3)²+……(1/n)²