一个概率问题求期望值

题目

一个概率问题求期望值
游戏中有一件武器,可以通过锻造进行升级.每次锻造成功的概率是1/2,如果成功则升一级,失败则降一级.（如果锻造之前是1级,那么锻造失败后还是1级.）
想要将1级的武器锻造成3级,需要的锻造次数的期望值是多少?
如果从1级锻造成N级,需要的锻造次数期望值如何计算?有没有通用的解题思路?
我不想只要结果,

答案

先看N=3的情况,设从k级出发,到3级结束,锻造次数的期望值为X(k),由升级规则可知,X(1) = 1 + (X(1) + X(2)) / 2;X(2) = 1 + X(1) / 2;解方程得 X(1) = 6, X(2) = 4.对任意N>3, 有X(1) = 1 + (X(1) + X(2)) / 2;X(k) = ...