一道高中数列题

题目

一道高中数列题
已知数列{An}的前三项与数列{Bn}的前三项相同,且a1+2a2+2²a3+……+2的n次方an=8n对任意n∈N*都成立,数列{bn+1-bn}是等差数列
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式
（2）是否存在k∈N*,使得（bn-an)∈（0,1）?请说明理由

答案

题目有误,应该是A1+2A2+2^2A3+……+2^(n-1)An=8n
1.
A1+2A2+2^2A3+……+2^(n-2)A(n-1)+2^(n-1)An=8n
A1+2A2+2^2A3+……+2^(n-2)A(n-1)=8(n-1)
两式相减
2^(n-1)An=8
An=8/2^(n-1)=2^(4-n)
经验算,A1=8也满足上式
B1=A1=8
B2=A2=4
B3=A3=2
B2-B1=-4
B3-B2=-2
d=(B3-B2)-(B2-B1)=(-2)-(-4)=2
B(n+1)-Bn=-4+(n-1)2=2n-6
Bn-B(n-1)=2n-8
B(n-1)-B(n-2)=2n-10
……
B2-B1=-4
上式相加,相同项消去
Bn-B1=-4-2+0+……+(2n-8)=(-4+2n-8)(n-1)/2=(n-6)(n-1)=n^2-7n+6
Bn=B1+n^2-7n+6
=8+n^2-7n+6
=n^2-7n+14
2.
B1-A1=B2-A2=B3-A3=0不属于(0,1)
An=2^(4-n)是递减数列,Bn=n^2-7n+14从第4项开始是递增数列
B4-A4=2-1=1
第4项之后,Bn-An>B(n-1)-A(n-1)>……>B4-A4>1
不存在k,使得(Bn-An)∈(0,1)