当x趋近于0,cosx-cos2x是x的几阶无穷小

题目

当x趋近于0,cosx-cos2x是x的几阶无穷小

答案

设cosx-cos2x是x的n阶无穷小,n为自然数.那么原题就相当于当(cosx-cos2x)/x^n=常数时,求n的值.对(cos-cos2x)/x^n使用洛必达法则=(-sinx+2sin2x)/nx^(n-1),此时当n>=1时,原式仍为0/0型,所以使用洛必达法则=(-cosx+4cos2x)/n(n-1)x^(n-2)
此时,当n>2时,分号上半部分等于4,下半部分等于0.那么原式=无穷.与题设不符合.所以n=2.
此时验证n=2的情况,原式=（-cosx+4cos2x)/n(n-1)x^(n-2)=3/2
所以cosx-cos2x是x的2阶无穷小.
证毕