已知f（x）是定义在R上的函数，若对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+2f（2），且函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称，f（1）=2，则f（2011）等于（　　） A.2 B.3 C.4

题目

已知f（x）是定义在R上的函数，若对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+2f（2），且函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称，f（1）=2，则f（2011）等于（　　）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6

答案

因为函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称，
所以函数f（x）的图象关于直线x=0对称，即函数f（x）是偶函数，故有f（-x）=f（x）．
∵对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+2f（2），
∴f（-2+4）=f（-2）+2f（2）⇒f（-2）+f（2）=0⇒2f（2）=0⇒f（2）=0
∴f（x+4）=f（x）+2f（2）=f（x）．即函数周期为4．
∴f（2011）=f（4×502+3）=f（3）=f（-1）=f（1）=2．
故选A．