高一数学等差数列

题目

高一数学等差数列
若a^2 b^2 c^2等差,求证1/b+c 1/c+a 1/a+b也是等差数列

答案

1/(b+c)=(a+c)(a+b)/[(a+b)(a+c)(b+c)]
=(a^2+ab+ac+bc)/[(a+b)(a+c)(b+c)]
1/(a+c)=(a+b)(b+c)/[(a+b)(a+c)(b+c)]
=(b^2+ac+bc+ab)/[(a+b)(a+c)(b+c)]
1/(a+b)=(a+c)(b+c)/[(a+b)(a+c)(b+c)]
=(c^2+ab+ac+bc)/[(a+b)(a+c)(b+c)]
2/(a+c)-[1/(b+c)+1/(a+b)](分母一样,我下面省略）
=2（b^2+ac+bc+ab)-[(a^2+ab+ac+bc)+(c^2+ab+ac+bc)
=2b^2-(a^2+c^2)
=0(是由已知条件得到的）
所以得证.