过椭圆x2/5+y2=1的右焦点F作直线l与椭圆C交与P,Q两点,若向量OP+向量OQ=向量OM,求M得轨迹方程

题目

过椭圆x2/5+y2=1的右焦点F作直线l与椭圆C交与P,Q两点,若向量OP+向量OQ=向量OM,求M得轨迹方程

答案

由 a^2=5 ,b^2=1 得 c^2=a^2-b^2=4 ,因此 F（2,0）,
设 L 方程为 y=k(x-2) ,代入椭圆方程得 x^2/5+k^2(x-2)^2=1 ,
化简得 (5k^2+1)x^2-20k^2*x+20k^2-5=0 ,
设 P（x1,y1）,Q（x2,y2）,M（x,y）,
则 x1+x2= 20k^2/(5k^2+1) ,
由于 OM=OP+OQ ,所以 x=x1+x2 ,
也就是 x=20k^2/(5k^2+1)=4-4/(5k^2+1) ,将 k=y/(x-2) 代入并化简得
(x-2)^2/4+y^2/(4/5)=1 .